统计学习方法BR-附录：点积
By arthur503 -- 02 Oct 2013
对于点积，之前学过但是很久不用还是忘了。
现在能想到的问题：
- 点积的定义是什么？
- 点积的计算方法是什么？
- 点积的意义是什么？
- 其他相似的、易混的积还有什么？
一、定义
维基百科上点积被重定向为数量积：
在数学中，数量积（也称为内积、标量积、点积、点乘）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
因此，说内积、点积、数量积、标量积、点乘等都是相同的。他的数学符号是”·”，几何定义为：
两个向量a = [a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>]和b = [b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, ..., b<sub>n</sub>]的点积定义为：
a · b = ∑(i=1~n)a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>也就是说，向量a和b的点积（a和b必须维度相等）相当于向量各对应项的乘积之和。
二、几何解释
在Rn(n≤3)的欧几里得空间中，点积可以有直观的几何解释，定义为：
a · b = |a||b|cosθ
其中，|x|表示x的范数(长度)，θ表示两个向量之间的角度。这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若两个向量都是单位向量，则他们的点积就是他们夹角的余弦。同时，若给定两个向量，他们之间的夹角可以通过公式计算得到：
cosθ = (a · b) / (|a||b|)不过这个点积的几何解释只适用于Rn(n≤3)，在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，就是：
a · b = ∑(i=1~n)a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>三、应用场景
在实际场景中，点积可以用来计算合力和功。若b为单位向量，则点积即为a在方向b上的投影，也就是a在b的方向上的分解。而功，即是力合位移的点积。
四、解答存疑
现在来回答最开始提出的几个问题：
- 点积的定义是什么？
- 点积的计算方法是什么？
- 点积的意义是什么？
- 其他相似的、易混的积还有什么？
- 点积的定义上面已经说了，向量各个对应元素乘积之和。
- 点积的计算方法与上相同。
- 点积的几何意义和物理应用场景如上文所述；
- 其他相似的积还没看到，等有了再来补充。
参考资料：