概率：飞机被流星撞击的概率有几何？

By arthur503 -- 20 Oct 2013

在看刘思喆的博客的时候看到了这篇文章飞机被流星击中而失事的概率，觉得题目很好玩，没看答案自己先算了一下。

题目：自己做出所需的合理假设和参数，进行计算一架飞机被流行撞到的几率是多少？

顺道吐槽一句，这乍看之下像是产品经理的题目。

我的假设如下：

飞机的表面积为S0；
地球半径为R，飞机飞行高度为H。所以在飞机飞行球面积S1=4π(R+H)^2；
根据流星的速度，依照流行与地球运行方向，进入大气层速度可在每秒10公里到70公里之间，远大于飞机速度（在音速=340米每秒附近），因此，可以认为流行进入地球时，飞机是相对静止的。
假设飞机平均飞行时间为T小时，每小时内进入地球的流星个数为N个，即：飞机飞行时间内进入地球的流星个数为NT个。

由3可知，一颗流星击中飞机的概率：p1 = S0/S1；

由4可知，飞机飞行期间没有被流星（共NT个）击中的几率为：p2 = (1-p1)^NT；

所以，飞机飞行期间被流星（共NT个）击中的几率为：p = 1 - p2 = 1 - (1-p1)^NT；

根据刘思喆的文章飞机被流星击中而失事的概率，部分数据如下：

每小时有 125 颗流星”光临”地球，且都是超音速飞行的；
平均飞机的面积占地球总面积的5.7e-13；
法航 447 客机预计飞行的时间为 11 小时。

即：令p1=5.7e-13，T=11，N=125，计算如下：

//某架飞机
int N = 125;
int T = 11;
double p1 = 5.7e-13;
double p2 = Math.pow(1-p1, N*T);
double p = 1-p2;

System.out.println("某架飞机在飞行球面上被一颗流星撞击的概率 p1 is:"+p1);
System.out.println("某架飞机在飞行过程中不被流星撞击的概率 p2 is:"+p2);
System.out.println("某架飞机在飞行过程中被流星撞击的概率 p is:"+p);

运行结果如下：

某架飞机在飞行球面上被一颗流星撞击的概率 p1 is:5.7E-13
某架飞机在飞行过程中不被流星撞击的概率 p2 is:0.9999999992162658
某架飞机在飞行过程中被流星撞击的概率 p is:7.837341886585136E-10

在刘思喆的文章飞机被流星击中而失事的概率中，对这种小概率事件是用Poisson分布去拟合的，其计算结果为： 7.8375e-10。二者结果很相近。

注意：这里是某一架飞机被流星撞击的概率。若是要求天空中任意飞机被流星撞击的概率(任意时刻天空中所有飞机面积与飞行球面积之比，需要任意时刻天空飞机数M)，则要重新计算p1 = M * S0/S1。之后，需要统计某段时间（如一天、一个月等）出现的流星总数（根据每小时125颗计算）。基于此，我们继续看下面一道问题：

20年内至少有一架飞机被流星击中的概率为多少？

根据How much of a threat are meteors to aviation?：

Here goes: at any given time, airliners cover 2 billionths of the Earth’s surface. There are 125 meteors an hour, each with probability 2e-9 of striking some airplane. In 20 years, that’s about 22 million independent possible impact events.

在这里，其实有个隐含假设，我们计算一下：在任意给定时刻，天空中都有(2e-9 / 5.7e-13) = 3508.8架飞机，即M=3508（这是根据原文推断出来的假设条件）。这样，在任意时刻，一颗流星撞击飞机的概率：p1 = M * S0/S1 = 5.7e-13 * 3508 = 2e-9（若要计算任意时刻天空中的所有飞机可能被流星撞击的概率，将上面代码p1=2e-9取代5.7e-13即可）。又由于每小时进入大气层的流星数为125颗，在20年内，总共出现的流星数为：125 * 24 * 365 * 20 = 21900000，约为22million。

代码如下：

//20 years
double p1_20y = 2e-9;
double p2_20y = Math.pow(1-p1_20y, 125 * 24 * 365 * 20);
double p_20y = 1-p2_20y;


System.out.println("\n任意时刻，飞行球面上的任意飞机的被一颗流星撞击的概率 p1 is:"+p1_20y);
System.out.println("20年内，任意架飞机都不被流星撞击的概率 p2 is:"+p2_20y);
System.out.println("20年内，至少一架飞机被流星撞击的概率 p is:"+p_20y);

运行结果为：

任意时刻，飞行球面上的任意飞机的被一颗流星撞击的概率 p1 is:2.0E-9
20年内，任意架飞机都不被流星撞击的概率 p2 is:0.9571453662214437
20年内，至少一架飞机被流星撞击的概率 p is:0.04285463377855625

可以看出，20年内，至少一架飞机被流星击中的概率约为0.043，还是蛮大的。

参考资料：